数学

人類の至宝と言われるオイラーの等式の美しさとは

オイラーの等式とは、

\(e^{iπ}=-1\)で表される数式で、

オイラーの公式

\(e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ\)に

\(θ=π\)を代入して得られる等式です。

これ、すごくないですか?

\(e\)っていう永遠に続く超越数と同じく超越数の\(π\)と虚数の\(i\)を組み合わせると、−1っていうすごい単純な数字になるっていう。

不思議じゃないですか。人類の至宝と言われる所以です。

数学について他の記事もどうぞ。

\(e\)とは? \(i\)とは? え、\(π\)とは?

\(π\)とは?

\(π\)は皆さんご存知の「円周率」です。

では、円周率とは?正確に言えますか?

直径に対する円周の比率ですね。直径が1mの円の円周は、3.14mです。実際には、3.141592…mと永遠に続く数字になります。

\(i\)とは?

\(i\)とは?虚数ですね。2乗してー1になる数字です。

普通、マイナスの数字も2乗するとプラスになるし、プラスの数字は2乗すると当然プラスになります。2乗してマイナスになる数字は実際には無いのですが、それを\(i\)という記号を使って無いものを表現しています。実際には無い数字なので、虚数といいます。英語で"imaginary number"といって、頭文字をとって\(i\)と表します。

\(i^2=-1\)となります。

\(e\)とは?

さて、本丸のeです。ネイピア数と言われています。

\(e\)の説明は非常に難しいです。数字でいうと、\(e\)=2.718281…と永遠と続く数字です。

\(e\)の定義は、

\( e =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggl)^{n}\)

で表せます。

なんのこっちゃって感じですね。

\(e\)にまつわる3つの定理

\(e\)の定義から導き出される定理として、以下の3つがあります。

指数関数の(0,1)における傾きが1

指数関数とは、\( y=a^x\)で表され、この関数は、必ず\( x=0\)のとき、\( y=1\)を通ります。

この\(x=0\)のときの傾きが1になる特別なaがeです。

これは、\( y=a^x\)の逆関数、\( y=\log_{a}{x}\)の(1,0)における傾きが1になる特別な\(a\)が\(e\)となるということで証明できます。

eの指数関数は微分してもeの指数関数

\( y=e^x\)を微分しても、\( y=e^x\)になるということです。

数式で表すと\( y’=e^x\)となります。

これは、\( y’=a^x\)を微分の定義に従って微分すると、

\(y'=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\)となり、

この式に、\(x=0\)を代入すると、1になることから導き出されます。

\(y=\log_{e}{x}\)を微分すると、\(y'=\displaystyle\frac{1}{x}\)

これも微分の定義に従って、\(y'=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\log_{e}{(x+h)}-\log_{e}{x}}{h}\)を計算すると、

\(y'=\displaystyle\frac{1}{x}\)が導き出されます。

最後に

どうですか、\(e\)について興味が湧いてきましたか。

それでは、最後まで読んでいただきありがとうございました。

-数学