オイラーの等式とは、
\(e^{iπ}=-1\)で表される数式で、
オイラーの公式
\(e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ\)に
\(θ=π\)を代入して得られる等式です。
これ、すごくないですか？
\(e\)っていう永遠に続く超越数と同じく超越数の\(π\)と虚数の\(i\)を組み合わせると、−1っていうすごい単純な数字になるっていう。
不思議じゃないですか。人類の至宝と言われる所以です。
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目次
\(e\)とは？ \(i\)とは？ え、\(π\)とは？
\(π\)とは？
\(π\)は皆さんご存知の「円周率」です。
では、円周率とは？正確に言えますか？
直径に対する円周の比率ですね。直径が１ｍの円の円周は、3.14ｍです。実際には、3.141592…ｍと永遠に続く数字になります。
\(i\)とは？
\(i\)とは？虚数ですね。2乗してｰ1になる数字です。
普通、マイナスの数字も2乗するとプラスになるし、プラスの数字は2乗すると当然プラスになります。2乗してマイナスになる数字は実際には無いのですが、それを\(i\)という記号を使って無いものを表現しています。実際には無い数字なので、虚数といいます。英語で"imaginary number"といって、頭文字をとって\(i\)と表します。
\(i^2=-1\)となります。
\(e\)とは？
さて、本丸のeです。ネイピア数と言われています。
\(e\)の説明は非常に難しいです。数字でいうと、\(e\)=2.718281…と永遠と続く数字です。
\(e\)の定義は、
\( e =\displaystyle\lim_{n\to\infty}\biggl(1+\frac{1}{n}\biggl)^{n}\)
で表せます。
なんのこっちゃって感じですね。
\(e\)にまつわる３つの定理
\(e\)の定義から導き出される定理として、以下の３つがあります。
指数関数の（０，１）における傾きが１
指数関数とは、\( y=a^x\)で表され、この関数は、必ず\( x=０\)のとき、\( y=1\)を通ります。
この\(x=0\)のときの傾きが１になる特別なaがeです。
これは、\( y=a^x\)の逆関数、\( y=\log_{a}{x}\)の（1,0）における傾きが１になる特別な\(a\)が\(e\)となるということで証明できます。
eの指数関数は微分してもeの指数関数
\( y=e^x\)を微分しても、\( y=e^x\)になるということです。
数式で表すと\( y’=e^x\)となります。
これは、\( y’=a^x\)を微分の定義に従って微分すると、
\(y'=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^x(a^h-1)}{h}\)となり、
この式に、\(x=0\)を代入すると、1になることから導き出されます。
\(y=\log_{e}{x}\)を微分すると、\(y'=\displaystyle\frac{1}{x}\)
これも微分の定義に従って、\(y'=\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{\log_{e}{(x+h)}-\log_{e}{x}}{h}\)を計算すると、
\(y'=\displaystyle\frac{1}{x}\)が導き出されます。
最後に
どうですか、\(e\)について興味が湧いてきましたか。
それでは、最後まで読んでいただきありがとうございました。
で表される数式で、 オイラーの公式 \(e^{iθ}=\cosθ+i\sinθ\)に \(θ=π\)を代入して得られる等式です。 これ、すごくないですか){kind=link}