みなさん、累乗、階乗って覚えてますか?
累乗は、同じ数を何回か掛けること、階乗は1減らした数を1まで掛けていくことですね。
\(2^3=2×2×2=8\)
\(3!=3×2×1=6\)
こんな感じですね。
では、\(3^{-2}\)、\(3^\frac{1}{2}\)、\(3^0\)、はいくらでしょう?
また、\(0!\)は?
そんなお話です。
目次
累乗
先程の答えを言うと、
\(3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)、\(3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\)、\(3^0=1\)
となります。
なぜでしょう？それは、そう決めたからです。
でも、それでは納得がいかないですよね。なぜ、そう決めたんでしょう。それは、都合がいいからです。
マイナスの累乗、０の累乗、\(3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)、\(3^0\)
なぜ、都合がいいか解説します。
\(3^5÷3^3=\displaystyle\frac{3×3×3×3×3}{3×3×3}=3^2\)となります。
そうすると、\(3^5÷3^3=3^{5-3}\)になりそうですね。
それでは、一般的に、\(3^a÷3^b=3^{a-b}\)で表せたら都合がいいです。
これで、\(a＜b\)の場合も成り立たせたい、とすると
\(3^3÷3^5=3^{-2}=\displaystyle\frac{3×3×3}{3×3×3×3×3}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)
となります。
さらに、\(a=b\)の場合は、\(3^3÷3^3=3^{0}=\displaystyle\frac{3×3×3}{3×3×3}=1\)
となります。
分数の累乗、\(3^\frac{1}{2}\)
それでは、\(3^\frac{1}{2}\)ですが、
\((3^2)^3=3^{2×3}\)となりそうです。
それでは、一般的に、\((3^a)^b=3^{a×b}\)が成り立ってほしい。
\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)、\(b=2\)とすると、
\((3^{\frac{1}{2}})^2=3^{(1×\frac{1}{2})}=3\)なので、
2乗して3になる、\(3^\frac{1}{2}\)は、\(\sqrt{3}\)となります。
階乗
0の階乗を考えるとき、場合の数から説明するのが分かりやすいです。
場合の数とは、たとえば、5人の中から買い物に行く人を3人選ぶとき、何通りあるかみたいなことで、
5人から3人選ぶので、5×4×3となりますが、順番は関係ないので、だぶってるぶんを引かないといけません。
だぶってるのは、3人の場合の数なので、3×2×1通りあるので、
\(\displaystyle\frac{5×4×3}{3×2×1}\)となります。
一般的に、ｎ個からｋ個を選ぶ場合、C（コンビネーション）という記号をつかい、
\( {}_n C_k=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)と表します。
そこで、5人から、5人買い物係を選ぶとき、当然１通りです。
そうすると、先程の式に、\(n=5,k=5\)を代入すると、
\( {}_5 C_5=\displaystyle\frac{5!}{5!(5-5)!}=\displaystyle\frac{5!}{5!(0)!}\)となり、これが１であって欲しいため、
\(0!=1\)となります。
最後に
いかがでしたか。
懐かしいなあって思われた方もいるのではないでしょうか。
それでは、最後まで読んでいただきありがとうございました。
 \(3!=3×2×1=6\) こんな感じです){kind=link}