数学

意外と面白い、数学における累乗とか階乗

みなさん、累乗、階乗って覚えてますか?

累乗は、同じ数を何回か掛けること、階乗は1減らした数を1まで掛けていくことですね。

\(2^3=2×2×2=8\)

\(3!=3×2×1=6\)

こんな感じですね。

では、\(3^{-2}\)、\(3^\frac{1}{2}\)、\(3^0\)、はいくらでしょう?

また、\(0!\)は?

そんなお話です。

累乗

先程の答えを言うと、

\(3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)、\(3^\frac{1}{2}=\sqrt{3}\)、\(3^0=1\)

となります。

なぜでしょう?それは、そう決めたからです。

でも、それでは納得がいかないですよね。なぜ、そう決めたんでしょう。それは、都合がいいからです。

マイナスの累乗、0の累乗、\(3^{-2}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)、\(3^0\)

なぜ、都合がいいか解説します。

\(3^5÷3^3=\displaystyle\frac{3×3×3×3×3}{3×3×3}=3^2\)となります。

そうすると、\(3^5÷3^3=3^{5-3}\)になりそうですね。

それでは、一般的に、\(3^a÷3^b=3^{a-b}\)で表せたら都合がいいです。

これで、\(a<b\)の場合も成り立たせたい、とすると

\(3^3÷3^5=3^{-2}=\displaystyle\frac{3×3×3}{3×3×3×3×3}=\displaystyle\frac{1}{3^2}\)

となります。

さらに、\(a=b\)の場合は、\(3^3÷3^3=3^{0}=\displaystyle\frac{3×3×3}{3×3×3}=1\)

となります。

分数の累乗、\(3^\frac{1}{2}\)

それでは、\(3^\frac{1}{2}\)ですが、

\((3^2)^3=3^{2×3}\)となりそうです。

それでは、一般的に、\((3^a)^b=3^{a×b}\)が成り立ってほしい。

\(a=\displaystyle\frac{1}{2}\)、\(b=2\)とすると、

\((3^{\frac{1}{2}})^2=3^{(1×\frac{1}{2})}=3\)なので、

2乗して3になる、\(3^\frac{1}{2}\)は、\(\sqrt{3}\)となります。

階乗

0の階乗を考えるとき、場合の数から説明するのが分かりやすいです。

場合の数とは、たとえば、5人の中から買い物に行く人を3人選ぶとき、何通りあるかみたいなことで、

5人から3人選ぶので、5×4×3となりますが、順番は関係ないので、だぶってるぶんを引かないといけません。

だぶってるのは、3人の場合の数なので、3×2×1通りあるので、

\(\displaystyle\frac{5×4×3}{3×2×1}\)となります。

一般的に、n個からk個を選ぶ場合、C(コンビネーション)という記号をつかい、

\( {}_n C_k=\displaystyle\frac{n!}{k!(n-k)!}\)と表します。

そこで、5人から、5人買い物係を選ぶとき、当然1通りです。

そうすると、先程の式に、\(n=5,k=5\)を代入すると、

\( {}_5 C_5=\displaystyle\frac{5!}{5!(5-5)!}=\displaystyle\frac{5!}{5!(0)!}\)となり、これが1であって欲しいため、

\(0!=1\)となります。

最後に

いかがでしたか。

懐かしいなあって思われた方もいるのではないでしょうか。

それでは、最後まで読んでいただきありがとうございました。

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